| на главную |
Частные законы сохранения энергий взаимодействующих тел.Виктор Воронков. 2013.09-2018.12 vv-2000@list.ru даты внесения дополнений после 2018.12 указываются в круглых скобках. В результате численных экспериментов открыто, что сохраняются энергии взаимодействующих тел
для двух взаимодействующих тел в общем случае и для трех тел и n-тел для указанных в статье видов симметрии.
1. Законы сохранения энергий для двух тел.Закон сохранения полной энергии системы двух тел имеет вид:
По результатам численного эксперимента мною было открыто, что эту формулу в системе центра масс
при скорости центра масс
Подтверждение (2) и (3) в численном эксперименте делает обоснованным вывод формул. Даются два вывода: из уравнения движения Ньютона и чрезвычайно простой алгебраический вывод из закона сохранения полной энергии системы двух тел, доступный школьникам старших классов. Вывод формул для
|
можно разбить на два независящих от времени слагаемых:
из уравнения движения Ньютона :
имеют вид:
не меняются величины
– скорость центра масс тел 
.
,
подставив выражение для 
в (3) легко получим (5) если в конечном выражении опустить
.
|
|
: 
:
и получим Аналогично можно получить закон сохранения энергии для тела 2.
Отмечу, что в (4) и (5) для каждого из двух тел доопределено понятие «потенциальная энергия тела»
которое раннее было определено для тела, движущихся в поле неподвижных источников потенциала. Как утверждается, в общем случае, потенциальная энергия существует лишь для системы в целом, и само понятие «потенциальная энергия отдельной точки системы» может быть лишено смысла [1].
Но, как видно из (4) и (5) понятие «потенциальная энергия тела» естественно расширено для каждого из двух взаимодействующих тел. Ниже будет показано, как расширяется понятие «потенциальная энергия тела» для 3-х и n-тел для указанных видов симметрии.
2. Законы сохранения энергий для 3-тел и для n -тел и виды симметрии, при которых эти законы энергии выполняются. Общая формула законов сохранения для двух тел, 3-х тел и видов симметрии.
При экспериментировании с численным решением уравнений движения мною были обнаружены формулы:
Для неподвижного тела 1 , находящегося в центре масс:
Для остальных тел при 
:
Или же, в форме, общей для двух тел и n -тел :
Потенциальная энергия каждого из n -тел, как очевидно из (8), имеет вид
На рис. 1 указаны эти типы симметрии
Рис. 1. Три типа симметрии, для которых обнаружены законы сохранения энергий.
2.1 Три тела.
2.2 n-тел. Закручивание на окружности.
В центре окружности находится тело. Остальные и тела находятся на этой окружности. Массы тел и расстояния между телами одинаковые. Тела имеют скорости, с одинаковыми компонентами, направленными по касательной к окружности и вдоль радиуса окружности. Все тела с одинаковой силой действуют на центральное тело, так, что бы сумма сил, находящихся друг против друга была бы равна нулю.
2.3 n-тел. Попарные столкновения.
Как для закручивания, но четные тела и нечетные имеют скорости, направленные друг к другу.
3. Тестирование формул.
Ниже приведены результаты расчетов, тестирующие формулы для двух тел
и для n -тел на постоянство значений величин 
И общей формулы для 2-х тел и для n -тел
Если формулы верны, то при уменьшении погрешности расчетов должны стремиться к константам
и, следовательно, разности 
должны стремиться к нулю.
Для тестирования формул, выбран кулоновский потенциал, для которого 
имеет вид
В центре масс находится положительный заряд 
, остальные заряды выбираются отрицательными.
Для численных расчетов выбрана схема Рунге-Кутты четвертого порядка.
На рис. 2 показаны перемещения 21 тела во времени и изменение разностей 21-го значения
для случая симметрии Попарные столкновения.
Рис. 2. Пример расчета движения 21 тела и изменения 21-ой разности .
В начале расчета (1,2) все разности сливаются в одну линию, что говорит о том, что при высокой точности расчета законы сохранения энергий каждого тела выполняются и отклонение от
настолько мало, что графики 21-ой разности сливаются в одну линию.
Начиная с 3, на графике начинает проявляться погрешность расчета, это не погрешность численной схемы, а погрешность округлений, поскольку она нарастает при уменьшении шага интегрирования, и это хорошо видно по увеличению разностей на рис. 3, которые так же являются индикатором и этого вида погрешностей.
Рис. 3. Погрешности округлений, возрастающие при уменьшении шага интегрирования, вызывают расщепление разностей
На этапе 4 погрешности резко нарастают, причем погрешности для каждого тела имеют свои значения, отличные от погрешностей других тел, что проявляется в расщеплении линий разностей
Таким образом, выявляется потенциальная практическая ценность законов сохранения энергий – они контролируют нарастание погрешности численного расчета.
Для двух тел (рис.4), при сильном сближении тел во время движения, погрешность метода Рунге-Кутты сначала «охлаждала» тела, ошибочно отбирая у них энергии, а потом внезапно «разогревала» их, что делало расчет полностью бессмысленным. Как хорошо видно на рис. 4,
и 
сначала уменьшались, причем скорость уменьшения увеличивалась из-за нарастания погрешности. Но в момент, когда из-за накопившейся ошибки расчета, тела «столкнулись» и разлетелись, то произошел «нагрев» и
и резко увеличились.
Рис. 4. Расчет движения двух тел. Тела при движении проходят близко друг от друга. Погрешность расчета сначала уменьшает, а потом увеличивает каждого тела.
Отмечу, что полная энергия системы тел много хуже реагирует на погрешность расчетов, к примеру, для трех тел (рис. 3а) энергии 2 и 3 тел уже изменились, реагируя на погрешность расчета, а суммарная энергия системы тел (s) еще долго оставалась неизменной.
Рис. 4а. и 
изменились из-за погрешностей расчета, тогда как полная энергия системы тел 
начала реагировать на появление погрешности с большим опозданием.
Выбор шага интегрирования на примере трех тел показан на рис. 5. Уменьшение шага повышает точность расчета, что приводит к уменьшению
до требуемого предела.
Рис. 5. Три тела. Уменьшение шага интегрирования вызывает уменьшение изменений
Тестирование общей формулы (8) так же подтверждает законы сохранения энергии, как и (4), (6), (7) (если точность расчета велика), но (12) сильнее реагирует на погрешность расчета. На рис. 6 расчет по (10-11), справа по (12).
Рис. 6. Сравнение расчетов по (10-11) (слева) и по (12) (справа).
3. Анализ формул для n-тел.
4.1 Отличия симметрии для 3-х тел от двух тел.
Формулы (6) и (7) были обнаружены как результат численных экспериментов, однако, для 3-х тел их можно получить по схеме повторяющей получение формул для 2-х тел.
Учитывая, что в заданной симметрии тело 1 неподвижно, то изменения для 2 и 3 тел имеют вид
Для первого тела формула (6) очевидна без вывода, а для 2 и 3 тел формулу (7) можно получить, если учесть
что 
по условиям симметрии, а соотношение между 
и 
совпадает со случаем двух тел, поскольку для них 
, отсюда
из этих формул очевидно значение 
, а поскольку изменение кинетических энергий 2 и 3 тел имеет вид
то, подставив значения в эту формулу, сразу получим (7).
Однако надо иметь в виду, что для трех тел далеко не для всех потенциалов сохраняется равенство нулю суммы сил, действующих на центральное тело со стороны подвижных тел.
Так для кулоновского потенциала, при котором 
, или для упругих сил, для которых
(здесь 
– коэффициент упругости),
можно для данного положения подвижных тел
вычислить заряды или коэффициенты сил упругости, для которых в начальный момент времени сумма сил действующих на центральное тело равна нулю, и это равенство будет сохраняться во время движения тел.
А вот для гравитационного потенциала с 
, равенство нулю суммы сил, действующих на центральное тело,
нарушается во время движения, и, поэтому, законы сохранения в форме (6-7) и (8) для гравитационного потенциала для трех тел не выполняются.
Последнее не означает, что не существует других законов сохранения, в том числе и для трех тел для гравитационного потенциала, более общих чем (6-7) и (8).
Так, к примеру, для произвольного множества не взаимодействующих между собой пар тел, у которых различные скорости движения центров масс каждой пары, для каждого тела сохраняется энергия, рассчитанная по формуле (5), которая не совпадает с (6-7) и (8). Таким образом (5) обнаруживает сохранение энергии в других областях, нежели (6-7) и (8), поэтому нельзя исключить существовании законов сохранения для трех тел в более общем случае, чем указано здесь.
4.2 Для симметрий Закручивания и Попарные столкновения законы сохранения выполняются благодаря объединениям пар тел, симметричных относительного тела, над которым производят работу тела входящие в пару.
Для n -тел формулы являются только результатом численного эксперимента. Мало того, изменения
для подвижных тел не сводится очевидным способом к формуле (13).
В двумерном (для краткости) случае изменение имеет вид
Для того, чтобы выразить , вынесем из скобок 
или, учитывая что 
, получим
Поскольку
то для того, чтобы получить выражение для через разность
, надо чтобы выполнялось равенство отношений скоростей
и чтобы эти величины не менялись во времени. Для двух и трех тел это так и есть, но для большего числа тел отношения скоростей не равны и меняются во времени, что видно на примере расчета на рис. 7 (на рисунке симметрия Попарные столкновения, но тоже и для Закручивания)
Рис. 7. Отношения скоростей меняются во времени и не равны друг другу, но отношения модулей скоростей постоянны.
Однако, как видно из этого рисунка, постоянно во времени отношение модулей скоростей
То есть равенство (15) не выполняется, но энергии тел сохраняются. Отсюда следует, что получение выражения для
не является необходимой целью для получения законов сохранения энергии – согласованное движение по формулам (6-7) или по (8) сохраняет энергии движущихся тел и тогда, когда не удается выразить.
Это, подчеркну, результат численного эксперимента, но не результат аналитического вывода.
Причина, по которой при невыполнении (15) для каждого тела, однако, сохраняется его энергия, состоит в том, в том, что, несмотря на то, что для каждого тела разность тела k в начальный момент времени и в момент t в точке нахождения тела i , умноженная на (16):
не всегда равна работе 
, которую отдельно взятое тело k совершает за время t над телом i , но суммарная работа всех тел над телом i равняется сумме разностей u , умноженных на (16):
На рис. 8 и рис. 9 показано расчетное изменение разностей (17) и работ тел k над телом i
и сумма разностей 
Если 
равно нулю, то это означает, что 
совпадает с работой, которую тело k совершает над телом i .
Сумма разностей 
в зоне низких погрешностей расчета практически равна нулю, а вот 
не всегда равно нулю, однако,
сумма для пар тел k, симметрично расположенных относительно тела i , равна работе ,
которую эта пара совершает над телом i – это видно из рис.8 и рис. 9.
Рис. 8. Симметрия Закручивание. 
только для k=1 (центральное тело) и для k , расположенному против тела i . В остальных случаях меняет знак на противоположный для k симметричных относительно тела i.
Рис. 9. Симметрия Попарные столкновения. для части точек k (рис. слева – равенство нулю для всех точек
k ). В остальных случаях меняет знак на противоположный для k , симметричных относительно тела i.
4.3 Возможная неоднозначность законов сохранения энергий.
Можно ли предложить алгоритм нахождения симметрий, при которых сохраняются энергии взаимодействующих тел?
Ответ на этот вопрос не является целью настоящей статьи, однако имеет смысл сделать несколько замечаний по этому поводу.
Если задаться целью, зная наперед описанные выше симметрии, получить постоянные коэффициенты 
(16) такие, что для них сохраняются величины 
в формулах
то, рассчитывая кинетические энергии тел 
для разных моментов времени, получим систему линейных уравнений относительно неизвестных 
.
Для симметрий 3-тел и Закручивания экспериментально получено, что матрица коэффициентов вырожденная, то есть отношение
где 
является только функцией от времени и не зависит от значений i и k , отсюда следует, что может иметь множество значений для заданных начальных условий.
Для Попарных столкновений отношение зависит от значений i и k и можно попытаться рассчитать значения .
4.4 Возможная неустойчивость системы тел требует большой точности при определении новых законов сохранения.
И, наконец, для симметрии 3-х тел надо иметь в виду, что эта симметрия крайне неустойчива. В тестовых расчетах координаты подвижных тел имеют значения порядка единиц, но изменение положения центрального тела на величину порядка 
приводит к сходу с орбит подвижных тел на втором обороте, а при отклонении на
сход с орбит происходит на первом обороте рис. 10 . И это надо принять во внимание при попытках определить расчетным путем начальные условия, при которых выполняются законы сохранения, поскольку требования к точности определения начальных условий, при которых выполняются законы сохранения энергий, могут оказаться чрезвычайно высокими.
Рис. 10. Неустойчивость орбит для симметрии 3-тел. При изменении положения 1 тела на тела сходят с орбит на первом обороте.
4. Заключение.
О новизне формул:
В лучшей дискуссии по поводу (2-3) в январе 2014 года оппонент сначала отослал меня к учебнику к главе о задаче двух тел. После того, как мои формулы (2) (3) там не нашлись, оппонент своим способом подтвердил мой выводы, и, после обсуждения, кто автор формул, предложил мне написать статью. Однако, прямо автором меня не признал, возложив эту обязанность на рецензента.
Отмечу, что все 9 физиков в России (2019.05.28), с которыми я пытался обсудить результаты, отнеслись к ним, если говорить мягко, не положительно, но никто при этом не указал, кто получил формулы до меня. С моей точки зрения факт единообразного поведения физиков является интересным научным результатом.
Единственная, кто признал мои формулы (2) (3) открытием, была Nina Roytvarf(Черная) (Израиль) (2018) . Она занимается задачей трех тел, и, поэтому, ее мнение для меня существенно. Рад выразить ей мою большую личную благодарность.
К обсуждению моих законов для n-тел никто не приступал, но, поскольку законы для n-тел являются развитием законов для двух тел, то велика вероятность, что они новые.
О ценности формул:
Если при численном расчете два тела проходят настолько близко, что силы взаимодействия между ними много больше сил, действующих на них со стороны других тел, то формулы (2-3), возможно, окажутся полезными для уменьшения погрешности численной схемы.
Если потенциал более сложный, чем для закона Кулона или гравитационного взаимодействие, то численное решение даже для двух тел, может оказаться единственное возможным. В этом случае (2-3) дают возможность контролировать точность расчета, что, в отсутствии аналитического решения, практически трудно сделать иначе.
В учебниках в главах о задаче двух тел обычно приводится одна формула для сохранения энергии двух тел в случае гравитационного взаимодействия. Например, у Маркеева А.П. [2] в параграфе Задача двух тел. Однако формулы (2-3) выигрывают, что называется, «по очкам» - их две, по одной для каждого тела и они верны для произвольного потенциала.
Для n-тел формулы действуют для экзотических видов симметрии, но то, что они существуют, заставляет задать вопрос о существовании практически полезных начальных условий, для которых найдутся свои законы сохранения.
Выражаю благодарность В.А.Бессонову (БФУ им. Канта) за критические замечания при отборе иллюстраций к этой статье.
При переписке с Д.В.Трещевым (МГУ) я понял, что надо детализировать алгебраический вывод законов сохранения для двух тел. Что я и сделал в мае 2019 года. За что ему моя благодарность.(2019.05.18)
Литература
1. Айзерман М. А. Классическая механика. М., Наука, 1980. с. 76-77
2. Маркеев А.П. Теоретическая механика. М., ЧеРо, 1999. с. 235